лухов Ю.П. Конспект лекций по высшей математике. 6

Лекция 22

ТЕМА: Дифференциальное исчисление функции нескольких переменн ы х

План.

1. Дифференцирование сложных функций. Инвариантность формы дифференциала.
2. Неявные функции, условия их существования. Дифференцирование неявных функций.
3. Частные производные и дифференциалы высших порядков, их свойства.*
4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. *
5. Производная функции по направлению. Градиент и его свойства.

Дифференцирование сложных функций

Пусть аргументы функции z = f (x , y ) u и v : x = x (u , v ), y = y (u , v ). Тогда функция f тоже есть функция от u и v . Выясним, как найти ее частные производные по аргументам u и v , не делая непосредственной подстановки z = f (x (u , v ), y (u , v )). При этом будем предполагать, что все рассматриваемые функции имеют частные производные по всем своим аргументам.

Зададим аргументу u приращение Δ u , не изменяя аргумент v . Тогда

. (16. 1 )

Если же задать приращение только аргументу v , получим:

. (16. 2 )

Разделим обе части равенства (16. 1 ) на Δ u , а равенства (16. 2 ) – на Δ v и перейдем к пределу соответственно при Δ u → 0 и Δ v → 0. Учтем при этом, что в силу непрерывности функций х и у . Следовательно,

(16. 3 )

Рассмотрим некоторые частные случаи.

Пусть x = x (t ), y = y (t ). Тогда функция f (x , y ) является фактически функцией одной переменной t , и можно, используя формулы (43 ) и заменяя в них частные производные х и у по u и v на обычные производные по t (разумеется, при условии дифференцируемости функций x (t ) и y (t ) ) , получить выражение для:

(16. 4 )

Предположим теперь, что в качестве t выступает переменная х , то есть х и у связаны соотношением у = у (х). При этом, как и в предыдущем случае, функция f х. Используя формулу (16.4) при t = x и учитывая, что, получим, что

. (16. 5 )

Обратим внимание на то, что в этой формуле присутствуют две производные функции f по аргументу х : слева стоит так называемая полная производная , в отличие от частной, стоящей справа.

Примеры.

1. Пусть z = xy , где x = u ² + v , y = uv ². Найдем и. Для этого предварительно вычислим частные производные трех заданных функций по каждому из своих аргументов:

Тогда из формулы (16.3) получим:

(В окончательный результат подставляем выражения для х и у как функций u и v ).

1. Найдем полную производную функции z = sin (x + y ²), где y = cos x .

Инвариантность формы дифференциала

Воспользовавшись формулами (15.8) и (16. 3 ), выразим полный дифференциал функции

z = f (x , y ) , где x = x (u , v ), y = y (u , v ), через дифференциалы переменных u и v :

(16. 6 )

Следовательно, форма записи дифференциала сохраняется для аргументов u и v такой же, как и для функций этих аргументов х и у , то есть является инвариантной (неизменной).

Неявные функции, условия их существования

Определение. Функция у от х , определяемая уравнением

F (x , y ) = 0 , (16.7 )

называется неявной функцией .

Конечно, далеко не каждое уравнение вида (16.7 ) определяет у как однозначную (и, тем более, непрерывную) функцию от х . Например, уравнение эллипса

задает у как двузначную функцию от х : для

Условия существования однозначной и непрерывной неявной функции определяются следующей теоремой:

Теорема 1 (без доказательства). Пусть:

1. функция F (x , y ) определена и непрерывна в некотором прямоугольнике с центром в точке (х 0 , у 0 ) ;
2. F (x 0 , y 0 ) = 0 ;
3. при постоянном х F (x , y ) монотонно возрастает (или убывает) с возрастанием у .

Тогда

а) в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0 ) уравнение (16.7 ) определяет у как однозначную функцию от х : y = f (x ) ;

б) при х = х 0 эта функция принимает значение у 0 : f (x 0 ) = y 0 ;

в) функция f (x ) непрерывна.

Найдем при выполнении указанных условий производную функции y = f (x ) по х .

Теорема 2 . Пусть функция у от х задается неявно уравнением (16.7 ), где функция F (x , y ) удовлетворяет условиям теоремы 1. Пусть, кроме того, - непрерывные функции в некоторой области D , содержащей точку (х,у), координаты которой удовлетворяют уравнению (16.7 ), причем в этой точке
. Тогда функция у от х имеет производную

(16.8 )

Доказательство.

Выберем некоторое значение х и соответствующее ему значение у . Зададим х приращение Δ х , тогда функция y = f (x ) получит приращение Δ у . При этом F (x , y ) = 0, F (x + Δ x , y +Δ y ) = 0, поэтому F (x + Δ x , y +Δ y ) – F (x , y ) = 0. Слева в этом равенстве стоит полное приращение функции F (x , y ), которое можно представить в виде (15.5 ):

Разделив обе части полученного равенства на Δ х , выразим из него : .

В пределе при
, учитывая, что и
, получим: . Теорема доказана.

Пример. Найдем, если. Найдем, .

Тогда из формулы (16.8 ) получаем: .

Производные и дифференциалы высших порядков

Частные производные функции z = f (x , y ) являются, в свою очередь, функциями переменных х и у . Следовательно, можно найти их частные производные по этим переменным. Обозначим их так:

Таким образом, получены четыре частные производные 2-го порядка. Каждую из них можно вновь продифференцировать по х и по у и получить восемь частных производных 3-го порядка и т.д. Определим производные высших порядков так:

Определение . Частной производной n -го порядка функции нескольких переменных называется первая производная от производной (n – 1)-го порядка.

Частные производные обладают важным свойством: результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования (например,).

Докажем это утверждение.

Теорема 3. Если функция z = f (x , y ) и ее частные производные
определены и непрерывны в точке М (х, у) и в некоторой ее окрестности, то в этой точке

(16.9 )

Доказательство.

Рассмотрим выражение и введем вспомогательную функцию. Тогда

Из условия теоремы следует, что дифференцируема на отрезке [ x , x + Δ x ], поэтому к ней можно применить теорему Лагранжа: где

[ x , x + Δ x ]. Но Так как в окрестности точки М определена, дифференцируема на отрезке [ y , y + Δ y ], поэтому к полученной разности вновь можно применить теорему Лагранжа: , где Тогда

Изменим порядок слагаемых в выражении для А :

И введем другую вспомогательную функцию, тогда Проведя те же преобразования, что и для, получим, что где. Следовательно,

В силу непрерывности и. Поэтому, переходя к пределу при получаем, что, что и требовалось доказать.

Следствие. Указанное свойство справедливо для производных любого порядка и для функций от любого числа переменных.

Дифференциалы высших порядков

Определение . Дифференциалом второго порядка функции u = f (x , y , z ) называется

Аналогично можно определить дифференциалы 3-го и более высоких порядков:

Определение . Дифференциалом порядка k называется полный дифференциал от дифференциала порядка (k – 1): d k u = d (d k - 1 u ).

Свойства дифференциалов высших порядков

1. k -й дифференциал является однородным целым многочленом степени k относительно дифференциалов независимых переменных, коэффициентами при которых служат частные производные k -го порядка, умноженные на целочисленные постоянные (такие же, как при обычном возведении в степень):

1. Дифференциалы порядка выше первого не инвариантны относительно выбора переменных.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала

Пусть функция z = f (x , y ) является дифференцируемой в окрестности точки М (х 0 , у 0 ) . Тогда ее частные производные и являются угловыми коэффициентами касательных к линиям пересечения поверхности z = f (x , y ) с плоскостями у = у 0 и х = х 0 , которые будут касательными и к самой поверхности z = f (x , y ). Составим уравнение плоскости, проходящей через эти прямые. Направляющие векторы касательных имеют вид {1; 0; } и {0; 1; }, поэтому нормаль к плоскости можно представить в виде их векторного произведения: n = {-,-, 1}. Следовательно, уравнение плоскости можно записать так:

, (16.10 )

где z 0 = .

Определение. Плоскость, определяемая уравнением (16.10 ), называется касательной плоскостью к графику функции z = f (x , y ) в точке с координатами (х 0 , у 0 , z 0 ) .

Из формулы (15.6 ) для случая двух переменных следует, что приращение функции f в окрестности точки М можно представить в виде:

Или

(16.11 )

Следовательно, разность между аппликатами графика функции и касательной плоскости является бесконечно малой более высокого порядка, чем ρ, при ρ→ 0.

При этом дифференциал функции f имеет вид:

что соответствует приращению аппликаты касательной плоскости к графику функции. В этом состоит геометрический смысл дифференциала.

Определение. Ненулевой вектор, перпендикулярный касательной плоскости в точке М (х 0 , у 0 ) поверхности z = f (x , y ) , называется нормалью к поверхности в этой точке.

В качестве нормали к рассматриваемой поверхности удобно принять вектор -- n = {,-1}.

z = f (x,y)

M 0 (x 0 , y 0 , z 0 )

M (x 0 , y 0 )

Пример.

Составим уравнение касательной плоскости к поверхности z = xy в точке М (1; 1). При х 0 = у 0 = 1 z 0 = 1; . Следовательно, касательная плоскость задается уравнением: z = 1 + (x – 1) + (y – 1), или x + y – z – 1 = 0. При этом вектор нормали в данной точке поверхности имеет вид: n = {1; 1; -1}.

Найдем приращение аппликат графика функции и касательной плоскости при переходе от точки М к точке N (1,01; 1,01).

Δ z = 1,01² - 1 = 0,0201; Δ z кас = (1,01 + 1,01 – 1) – (1 + 1 – 1) = 0,02. Следовательно,

dz = Δ z кас = 0,02. При этом Δ z – dz = 0,0001.

Формула Тейлора для функции нескольких переменных

Как известно, функцию F (t ) при условии существования ее производных по порядок n +1 можно разложить по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (см. формулы (21), (2 5 )). Запишем эту формулу в дифференциальной форме:

(16.1 2 )

где

В этой форме формулу Тейлора можно распространить на случай функции нескольких переменных.

Рассмотрим функцию двух переменных f (x , y ) , имеющую в окрестности точки (х 0 , у 0 ) непрерывные производные по (n + 1)-й порядок включительно. Зададим аргументам х и у некоторые приращения Δ х и Δ у и рассмотрим новую независимую переменную t :

(0 ≤ t ≤ 1). Эти формулы задают прямолинейный отрезок, соединяющий точки (х 0 , у 0 ) и (х 0 + Δ х, у 0 + Δ у ). Тогда вместо приращения Δ f (x 0 , y 0 ) можно рассматривать приращение вспомогательной функции

F(t) = f (x 0 + t Δ x, y 0 + t Δ y) , (16.1 3 )

равное Δ F (0) = F (1) – F (0). Но F (t ) является функцией одной переменной t , следовательно, к ней применима формула (16.1 2 ). Получаем:

Отметим, что при линейной замене переменных дифференциалы высших порядков обладают свойством инвариантности, то есть

Подставив эти выражения в (16.1 2 ), получим формулу Тейлора для функции двух переменных :

, (16.1 4 )

где 0< θ <1.

Замечание. В дифференциальной форме формула Тейлора для случая нескольких переменных выглядит достаточно просто, однако в развернутом виде она весьма громоздка. Например, даже для функции двух переменных первые ее члена выглядят так:

Производная по направлению. Градиент

Пусть функция u = f (x , y , z ) непрерывна в некоторой области D и имеет в этой области непрерывные частные производные. Выберем в рассматриваемой области точку M (x , y , z ) и проведем из нее вектор S , направляющие косинусы которого cosα , cosβ , cosγ . На векторе S на расстоянии Δ s от его начала найдем точку М 1 (х+ Δ х, у+ Δ у, z + Δ z ), где

Представим полное приращение функции f в виде:

где

После деления на Δ s получаем:

.

Поскольку предыдущее равенство можно переписать в виде:

(16.15 )

Определение. Предел отношения при называется производной от функции u = f (x , y , z ) по направлению вектора S и обозначается.

При этом из (16.1 5 ) получаем:

(16.1 6 )

Замечание 1 . Частные производные являются частным случаем производной по направлению. Например, при получаем:

.

Замечание 2. Выше определялся геометрический смысл частных производных функции двух переменных как угловых коэффициентов касательных к линиям пересечения поверхности, являющейся графиком функции, с плоскостями х = х 0 и у = у 0 . Аналогичным образом можно рассматривать производную этой функции по направлению l в точке М(х 0 , у 0 ) как угловой коэффициент линии пересечения данной поверхности и плоскости, проходящей через точку М параллельно оси O z и прямой l .

Определение . Вектор, координатами которого в каждой точке некоторой области являются частные производные функции u = f (x , y , z ) в этой точке, называется градиентом функции u = f (x , y , z ).

Обозначение: grad u = .

Свойства градиента

1. Производная по направлению некоторого вектора S равняется проекции вектора grad u на вектор S .

Доказательство . Единичный вектор направления S имеет вид e S ={ cosα , cosβ , cosγ }, поэтому правая часть формулы (16.1 6 ) представляет собой скалярное произведение векторов grad u и e s , то есть указанную проекцию.

1. Производная в данной точке по направлению вектора S имеет наибольшее значение, равное | grad u |, если это направление совпадает с направлением градиента. Доказательство. Обозначим угол между векторами S и grad u через φ. Тогда из свойства 1 следует, что

| grad u |∙ cosφ , (16.1 7 )

следовательно, ее наибольшее значение достигается при φ=0 и равно | grad u |.

1. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору grad u , равна нулю.

Доказательство. В этом случае в формуле (16.17)

1. Если z = f (x , y ) – функция двух переменных, то grad f = направлен перпендикулярно к линии уровня f (x , y ) = c , проходящей через данную точку.

афедра информатики и высшей математики КГПУ

Расширением исчисления функций переменной является многомерный анализ, когда происходит дифференциальное исчисление функций нескольких переменных – функции, которые интегрируются и дифференцируются, затрагивают не одну, а несколько переменных.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных подразумевает проводить следующие типичные операции:

1. Непрерывность и пределы.

Ко многим патологическим и нелогичным результатам, которые не свойственны функции одной переменной, приводит исследование непрерывности и пределов в многомерных пространствах. К примеру, имеются двух переменных скалярные функции, имеющие в области определения точки, которые дают специфический предел при приближении вдоль прямой, а при приближении вдоль параболы дают совершенно иной предел. К нулю функция стремится к нулю при прохождении по любой прямой, которая проходит через начало координат. В связи с тем, что пределы не совпадают по различным траекториям, единого предела не существует.

При стремлении переменных х, функция пределом имеет определенное число. Если предельное значение функции в определенной точке существует и равняется частному значению функции, то такая функция называется непрерывной в данной точке. Если функция непрерывна на множестве точек, то тогда она называется непрерывной на множестве точек.

2. Нахождение частной производной.

Под частная производной нескольких переменных подразумевается производная одной переменной, а константами считаются все остальные переменные.

3. Кратное интегрирование.

На функции многих переменных кратный интеграл расширяет понятие интеграла. Для вычисления объемов и площадей областей в пространстве и плоскости используются интегралы двойные и тройные. Согласно теоремы Тонелли-Фубини, кратный интеграл также может вычислен быть, как повторный интеграл.

Все это позволяет производить дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Касательная плоскость к поверхности z = f(x, y) Z - z = p(X - x) + q(Y - y) , где X, Y, Z - текущие координаты; x, y, z - координаты точки касания;
Нормаль к поверхности F(x, y, z) = 0 в точке M(x, y, z)

X - x F " x

Министерство образования Республики Беларусь

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Высшая математика»

Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Методические указания и задания контрольной работы №2

для студентов-заочников

всех специальностей

комиссией методического совета

Белорусско-Российского университета

Одобрено кафедрой «Высшая математика» «_____»____________2004 г.,

протокол №

Составители: Червякова Т. И., Ромская О. И., Плешкова С.Ф.

Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных. Методические указания и задания контрольной работы №2 для студентов-заочников. В работе изложены методические рекомендации, контрольные задания, образцы решения задач по разделу «Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных». Задания предназначены для студентов всех специальностей заочной формы обучения.

Учебное издание

Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных

Технический редактор А.А. Подошевко

Компьютерная верстка Н.П. Полевничая

Рецензенты Л.А. Новик

Ответственный за выпуск Л.В. Плетнев

Подписано в печать. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. . Тираж экз. Заказ №_________

Издатель и полиграфическое исполнение:

Государственное учреждение профессионального образования

«Белорусско-Российский университет»

Лицензия ЛВ №243 от 11.03.2003 г., лицензия ЛП №165 от 08.01.2003 г.

212005, г. Могилев, пр. Мира,43

© ГУВПО «Белорусско-Российский

университет», 2004

Введение

Настоящие методические указания содержат материал по изучению раздела «Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных».

Контрольную работу выполняют в отдельной тетради, на обложке которой студенту следует разборчиво написать номер, название дисциплины, указать свою группу, фамилию, инициалы и номер зачетной книжки.

Номер варианта соответствует последней цифре зачетной книжки. Если последняя цифра зачетной книжки – 0, номер варианта равен 10.

Решение задач необходимо проводить в последовательности, указанной в контрольной работе. При этом условие каждой задачи полностью переписывают перед ее решением. В тетради обязательно оставляют поля.

Решение каждой задачи следует излагать подробно, давать необходимые пояснения по ходу решения со ссылкой на используемые формулы, вычисления проводить в строгом порядке. Решение каждой задачи доводить до ответа, требуемого условием. В конце контрольной работы указать использованную при выполнении контрольной работы литературу.

Во просы для самостоятельного изучения

Производная функции: определение, обозначение, геометрический и механический смыслы. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой.

Непрерывность дифференцируемой функции.

Правила дифференцирования функции одной переменной.

Производные сложной и обратной функции.

Производные основных элементарных функций. Таблица производных.

Дифференцирование параметрически и неявно заданных функций. Логарифмическое дифференцирование.

Дифференциал функции: определение, обозначение, связь с производной, свойства, инвариантность формы, геометрический смысл, применение в приближенных вычислениях значений функции.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.

Правило Бернулли-Лопиталя, его применение к вычислению пределов.

Монотонность и экстремумы функции одной переменной.

Выпуклость и перегибы графика функции одной переменной.

Асимптоты графика функции.

Полное исследование и построение графика функции одной переменной.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Понятие функции нескольких переменных.

Предел и непрерывность ФНП.

Частные производные ФНП.

Дифференцируемость и полный дифференциал ФНП.

Дифференцирование сложных и неявно заданных ФНП.

Частные производные и полные дифференциалы высших порядков ФНП.

Экстремумы (локальный, условный, глобальный) ФНП.

Производная по направлению и градиент.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Решение типового варианта

Задача 1. Найти производные от функций:

	б) ;	в) ;
г)		е)

Решение. При решении заданий а)-в) применим следующие правила дифференцирования:

1)
; 2)
;

3)
; 4)

5)
6)

7)
;

8) если , т.е.
- сложная функция, то
.

На основании определения производной и правил дифференцирования составлена таблица производных основных элементарных функций.

1 ,	8 ,
2 ,	9 ,
3 ,	10 ,
4 ,	11 ,
5 ,	12 ,
6 ,	13 .
7 ,

Используя правила дифференцирования и таблицу производных, найдем производные данных функций:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Данная функция является степенно-показательной. Применим метод логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем функцию:

.

Применим свойство логарифмов:
. Тогда
.

Дифференцируем обе части равенства по :

;

;

;

.

Функция задана неявно в виде
. Дифференцируем обе части данного уравнения, считая функцией от :

Выразим из уравнения :

.

Функция задана параметрически
Производная такой функции находится по формуле:
.

Ответ:

Задача 2. Найти дифференциал четвертого порядка от функции
.

Решение. Дифференциал
называется дифференциалом первого порядка.

Дифференциал
называется дифференциалом второго порядка.

Дифференциал n-го порядка определяется по формуле:
, где n=1,2,…

Найдем последовательно производные.

Задача 3. В каких точках графика функции
касательная к нему параллельна прямой
? Сделать рисунок.

Решение. По условию касательные к графику и заданная прямая параллельны, поэтому угловые коэффициенты этих прямых равны между собой.

Угловой коэффициент прямой
.

Угловой коэффициент касательной к кривой в некоторой точке находим из геометрического смысла производной:

, где - угол наклона касательной к графику функции
в точке .

.

Для нахождения угловых коэффициентов искомых прямых составим уравнение

.

Решив его, найдем абсциссы двух точек касания:
и
.

Из уравнения кривой определяем ординаты точек касания:
и
.

Сделаем рисунок.

Ответ: (-1;-6) и
.

Замечание : уравнение касательной к кривой в точке
имеет вид:

уравнение нормали к кривой в точке имеет вид:

.

Задача 4. Провести полное исследование функции и построить ее график:

.

Решение. Для полного исследования функции и построения ее графика применяется следующая примерная схема:

найти область определения функции;

исследовать функцию на непрерывность и определить характер точек разрыва;

исследовать функцию на четность и нечетность, периодичность;

найти точки пересечения графика функции с осями координат;

исследовать функцию на монотонность и экстремум;

найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;

найти асимптоты графика функции;

для уточнения графика иногда целесообразно найти дополнительные точки;

по полученным данным построить график функции.

Применим вышеуказанную схему для исследования данной функции.

Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не периодическая.

Точка
- точка пересечения с осью Ох.

С осью Оу:
.

Точка (0;-1) – точка пересечения графика с осью Оу.

Находим производную.

при
и не существует при
.

Критические точки:
и
.

Исследуем знак производной функции на промежутках .

Функция убывает на интервалах
; возрастает – на интервале
.

Находим вторую производную.

при
и не существует при .

Критические точки второго рода: и
.

Функция выпукла на интервале
, функция вогнута на интервалах
.

Точка перегиба ,
.

Докажем это, исследуя поведение функции вблизи точки .

Найдем наклонные асимптоты

Тогда
- горизонтальная асимптота

Найдем дополнительные точки:

По полученным данным строим график функции.

Задача 5. Правило Бернулли-Лопиталя сформулируем в виде теоремы.

Теорема : если две функции
и
:

.

Найти пределы, применяя правило Бернулли-Лопиталя:

а)
; б)
; в)
.

Решение. а) ;

в)
.

Применим тождество
. Тогда

Задача 6. Дана функция
. Найти , ,
.

Решение. Найдем частные производные.

Полный дифференциал функции
вычисляется по формуле:

.

Ответ:
,
,
.

Задача 7 Продифференцировать:

Решение. а) Производная сложной функции находится по формуле:

;
;

Ответ:

б) Если функция задана неявно уравнением
, то ее частные производные находятся по формулам:

,
.

,
,
.

;
.

Ответ:
,
.

Задача 8 Найти локальные, условные или глобальные экстремумы функции:

Решение. а) Найдем критические точки функции, решив систему уравнений:

- критическая точка.

Применим достаточные условия экстремума.

Найдем вторые частные производные:

;
;
.

Составляем определитель (дискриминант):

Т.к.
, то в точке М 0 (4; -2) функция имеет максимум.

Ответ: Z max =13.

б)
, при условии, что
.

Для составления функции Лагранжа применим формулу

- данная функция,

Уравнение связи. можно сократить. Тогда. Левосторонний и правосторонний пределы. Теоремы... Документ

... ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 6 § 1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ , ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 6 1.Определение функции одной переменной 6 2.Способы задания функции 6 3.Сложная и обратная функции 7 4.Элементарные функции 8 § 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ...

Математика часть 4 дифференциальное исчисление функций нескольких переменных дифференциальные уравнения ряды

Учебное пособие

Математика. Часть 4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных . Дифференциальные уравнения. Ряды: Учебное... матанализ», «Дифференциальное исчисление функции одной переменной» и «Интегральное исчисление функции одной переменной» . ЦЕЛИ И...

Функция n переменных Переменная u называется функцией n переменных (аргументов) x, y, z, …, t, если каждой системе значений x, y, z, …, t, из области их изменений (области определения), соответствует определенное значение u. Областью определения функции называется совокупность всех точек, в которых она имеет определенные действительные значения. Для функции двух переменных z=f(x, y) область определения представляет некоторую совокупность точек плоскости, а для функции трех переменных u=f(x, y, z) – некоторую совокупность точек пространства.

Функция двух переменных Функцией двух переменных называется закон, по которому каждой паре значений независимых переменных x, y (аргументов) из области определения соответствует значение зависимой переменной z (функции). Данную функцию обозначают следующим образом: z = z(x, y) либо z= f(x, y) , или же другой стандартной буквой: u=f(x, y) , u = u (x, y)

Частные производные первого порядка Частной производной от функции z =f(x, y) по независимой переменной х называется конечный предел вычисленный при постоянной у Частной производной по у называется конечный предел вычисленный при постоянной х Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Полный дифференциал функции z =f(x, y) вычисляется по формуле Полный дифференциал функции трех аргументов u =f(x, y, z) вычисляется по формуле

Частные производные высших порядков Частными производными второго порядка от функции z =f(x, y) называются частные производные от ее частных производных первого порядка Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и высших порядков.

Дифференциалы высших порядков Дифференциалом второго порядка от функции z=f(x, y) называется дифференциал от ее пологого Дифференциалы высших порядков вычисляются по формуле Имеет место символическая формула

Дифференцирование сложных функций Пусть z=f(x, y), где х=φ(t), у=ψ(t) и функции f(x, y), φ(t), ψ(t) дифференцируемы. Тогда производная сложной функции z=f[φ(t), ψ(t)] вычисляется по формуле

Дифференцирование неявных функций Производные неявной функции двух переменных z=f(x, y), заданной с помощью уравнения F(x, y, z)=0, могут быть вычислены по формулам

Экстремум функции Функции z=f(x, y) имеет максимум (минимум) в точке M 0(x 0; y 0) если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке M(x; y) некоторой окрестности точки M 0. Если дифференцируемая функция z=f(x, y) достигает экстремума в точке M 0(x 0; y 0), то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т. е. (необходимые условия экстремума).

Пусть M 0(x 0; y 0) стационарная точка функции z=f(x, y). Обозначим И составим дискриминант Δ=AC B 2. Тогда: Если Δ>0, то функция имеет в точке М 0 экстремум, а именно максимум при А 0 (или С>0); Если Δ

Первообразная функция Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a, b), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной для F(x), т. е. Из этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратна задаче дифференцирования: по заданной функции f(x) требуется найти функцию F(x), производная которой равна f(x).

Неопределённый интеграл Множество всех первообразных функции F(x)+С для f(x) называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом. Таким образом, по определению где C произвольная постоянная; f(x) подынтегральная функция; f(x) dx подынтегральное выражение; x переменная интегрирования; знак неопределенного интеграла.

Свойства неопределённого интеграла 1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: 2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

3. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла: 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывной функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций: 5. Если, то и где u=φ(x) произвольная функция, имеющая непрерывную производную

Основные методы интегрирования Метод непосредственного интегрирования Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приво дится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»):

Замена переменной в неопределённом интеграле (интегрирование подстановкой) Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Пусть требуется вычислить интеграл. Сделаем подстановку х = φ(t), где φ(t) функция, имеющая непрерывную производную. Тогда dx=φ"(t)dt и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой

Интегрирование по частям Формула интегрирования по частям Формула дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла, который может оказаться существенно более простым, чем исходный.

Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P(x)/Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P(x) ниже степени многочлена Q(x); в противном случае дробь называется неправильной. Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби следующего вида: где А, В, p, q, a действительные числа.

Первый интеграл простейшей дроби IV типа в правой части равенства легко находится с помощью подстановки х2+px+q=t, а второй преобразуем так: Полагая х+р/2=t, dx=dt получим и обозначая q-p 2/4=a 2,

Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби Перед интегрированием рациональной дроби P(x)/Q(x) надо сделать следующие алгебраические преобразования и вычисления: 1)Если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из нее целую часть, т. е. представить в виде где М(х) многочлен, а P 1(x)/Q(x) – правильная рациональная дробь; 2) Разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители: где р2/4 q

3) Правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби: 4) Вычислить неопределенные коэффициенты А 1, А 2, …, Аm, …, В 1, В 2, …, Вm, …, С 1, С 2, …, Сm, …, для чего привести последнее равенство к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов.

Интегрирование простейших иррациональных функций 1. Интегралы вида где R – рациональная функция; m 1, n 1, m 2, n 2, … целые числа. С помощью подстановки ах+b=ts, где s наименьшее общее кратное чисел n 1, n 2, …, указанный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции. 2. Интеграл вида Такие интегралы путем выделения квадрата из квадратного трехчлена приводятся к табличным интегралам 15 или 16

3. Интеграл вида Для нахождения этого интеграла выделим в числителе производную квадратного трехчлена, стоящего под знаком корня, и разложим интеграл на сумму интегралов:

4. Интегралы вида С помощью подстановки х α=1/t этот интеграл приводится к рассмотренному п. 2 5. Интеграл вида где Рn(х) – многочлен n й степени. Интеграл такого вида находится с помощью тождества где Qn 1(x) – многочлен (n 1) й степени с неопределенными коэффициентами, λ число. Дифференцируя указанное тождество и приводя результат к общему знаменателю, получим равенство двух многочленов, из которого можно определить коэффициенты многочлена Qn 1(x) и число λ.

6. Интегралы от дифференциальных биномов где m, n, p – рациональные числа. Как доказал П. Л. Чебышев, интегралы от дифференциальных биномов выражаются через элементарные функции только в трех случаях: 1) р – целое число, тогда данный интеграл сводится к интегралу от рационнальной функции с помощью подстановки х=ts, где s – наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n. 2) (m+1)/n – целое число, в этом случае данный интеграл рационализируется с помощью подстановки a+bxn=ts; 3) (m+1)/n+р – целое число, в этом случае к той же цели ведет подстановка ax n+b=ts , где s – знаменатель дроби р.

Интегрирование тригонометрических функций Интегралы вида где R – рациональная функция. Под знаком интеграла находится рациональная функция от синуса и косинуса. В данном случае применима универсальная тригонометрическая подстановка tg(x/2)=t, которая сводит этот интеграл к интегралу от рациональной функции нового аргумента t (таблица п. 1). Существуют и другие подстановки, представленные в следующей таблице:

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке называется предел интегральных сумм при условии, что длина наибольшего частичного отрезка Δхi стремится к нуль. Числа а и b называются нижним и верхним пределами интегрирования. Теорема Коши. Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует

Src="https://present5.com/presentation/-110047529_437146758/image-36.jpg" alt="Если f(x)>0 на отрезке , то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной"> Если f(x)>0 на отрезке , то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции фигуры, ограниченной линиями у=f(x), x=a, x=b, y=0

Правила вычисления определенных интегралов 1. Формула Ньютона Лейбница: где F(x) – первообразная для f(x), т. е. F(x)‘= f(x). 2. Интегрирование по частям: где u=u(x), v=v(x) – непрерывно дифференцируемые функции на отрезке .

3. Замена переменной где х=φ(t) – функция, непрерывная вместе со своей производной φ‘ (t) на отрезке α≤t≤β, a= φ(a), b= φ(β), f[φ(t)] – функция непрерывна на [α; β] 4. Если f(x) – нечетная функция, т. е. f(x)= f(x), то Если f(x) –четная функция, т. е. f(x)=f(x), то.

Несобственные интегралы Несобственными интегралами называются: 1) интегралы с бесконечными пределами; 2) интегралы от неограниченных функций. Несобственный интеграл от функции f(x) в пределах от а до +бесконечности определяется равенством Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует или равен бесконечности, расходящимися Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке с отрезка и непрерывна при а≤х

При исследовании сходимости несобственных интегралов пользуются одним из признаков сравнения. 1. Если функции f(x) и φ(x) определены для всех х≥а и интегрируемы на отрезке , где А≥а, и если 0≤f(x)≤φ(x) для всех х≥а, то из сходимости интеграла вытекает сходимость интеграла, причем 2. 1 Если при х→+∞ функция f(x)≤ 0 является бесконечно малой порядка р>0 по сравнению с 1/х, то интеграл сходится при р>1 и расходится при р≤ 1. 2. 2 Если функция f(x)≥ 0 определена и непрерывна в промежутке а ≤ х

Вычисление площади плоской фигуры Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=f(x) , прямыми x=a и x=b и отрезком оси ОХ вычисляется по формуле Площадь фигуры, ограниченной кривой у=f 1(x) и у=f 2(x) и прямыми x=a и x=b находится по формуле Если кривая задана параметрическими уравнениями х=х(t), у=у(t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и отрезком оси ОХ вычисляется по формуле где t 1 и t 2 определяются из уравнения а=х(t 1), b=х(t 2) Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением ρ=ρ(θ) и двумя полярными радиусами θ=α, θ=β (α

Вычисление длины дуги плоской кривой Если кривая у=f(x) на отрезке – гладкая (т. е. производная у’=f’(x) непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле При параметрическом задании кривой х=х(t), у=у(t) [х(t) и у(t) – непрерывно дифференцируемые функции] длина дуги кривой, соответствующая, монотонному изменению параметра t от t 1 до t 2, вычисляется по формуле Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением ρ=ρ(θ), α≤θ≤β, то длина дуги равна.

Вычисление объема тела 1. Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений. Если площадь сечения тела плоскость, перпендикулярной оси ОХ, может быть выражена как функция от х, т. е. в виде S=S(х) (a≤x≤b), объем части тела, заключенный между перпендикулярными оси ОХ плоскостями x=a и x=b, находится по формуле 2. Вычисление объема тела вращения. Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой у=f(x) и прямыми у=0, x=a, x=b, вращается вокруг оси ОХ, то объем тела вращения вычисляется по формуле Если фигура, ограниченная кривыми у1=f 1(x) и у2=f 2(x) и прямыми x=a, x=b, вращается вокруг оси ОХ, то объем тема вращения равен.

Вычисление площади поверхности вращения Если дуга гладкой кривая у=f(x) (a≤х≤b) вращается вокруг оси ОХ, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле Если кривая задана параметрическими уравнениями х=х(t), у=у(t) (t 1≤t≤t 2), то.

Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным, если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Уравнение первого порядка Функциональное уравнение F(x, y, y) = 0 или y = f(x, y), связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию y(x) и ее производную y (x), называется дифференциальным уравнением первого порядка. Решением уравнения первого порядка называется всякая функция y= (x), которая, будучи подставлена в уравнение вместе со своей производной y = (x), обращает его в тождество относительно x.

Общее решение дифференциального уравнения 1 го порядка Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется такая функция y = (x, C), которая при любом значении параметра C является решением этого дифференциального уравнения. Уравнение Ф(x, y, C)=0, определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Уравнение, разрешенное относительно производной Если уравнение 1 го порядка разрешить относительно производной, то оно может быть представлено в виде Его общее решение геометрически представляет собой семейство интегральных кривых, т. е. совокупность линий, соответствующих различным значениям постоянной C.

Постановка задачи Коши Задача отыскания решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию при, называется задачей Коши для уравнения 1 го порядка. Геометрически это означает: найти интегральную кривую дифференциального уравнения, проходящую через данную точку.

Уравнение с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделенными переменными. Дифференциальное уравнение 1 го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно имеет вид: Для решения уравнения делят обе его части на произведение функций, а затем интегрируют.

Однородные уравнения Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно привести к виду y = или к виду где и – однородные функции одного порядка.

Линейные уравнения 1 го порядка Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно содержит у и у‘ в первой степени, т. е. имеет вид. Решают такое уравнение с помощью подстановки y=uv, где u и v вспомогательные неизвестные функции, которые находят, подставляя в уравнение вспомогательные функции и на одну из функций налагают определенные условия.

Уравнение Бернулли Уравнением Бернулли называется уравнение 1 го порядка, имеющее вид, где и Его, как и линейное уравнение решают с помощью подстановки

Дифференциальные уравнения 2 го порядка Уравнение 2 го порядка имеет вид Или Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция, которая при любых значениях параметров является решением этого уравнения.

Задача Коши для уравнения 2 го порядка Если уравнение 2 го порядка разрешить относительно второй производной, то для такого уравнения имеет место задача: найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: и Эту задачу называют задачей Коши для дифференциального уравнения 2 гопорядка.

Теорема существования и единственности решения уравнения 2 го порядка Если в уравнении функция и ее частные производные по аргументам и непрерывны в некоторой области, содержащей точку, то существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям и.

Уравнения 2 го порядка, допускающие понижение порядка Простейшее уравнение 2 го порядка решают двукратным интегрированием. Уравнение, не содержащее явно у, решают с помощью подстановки, Уравнение, не содержащее х, решают заменой, .

Линейные однородные уравнения Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение Если все коэффициенты этого уравнения постоянны, то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами.

Свойства решений линейного однородного уравнения Теорема 1. Если у(х) является решением уравнения, то и Су(х), где С константа, также является решением этого уравнения.

Свойства решений линейного однородного уравнения Теорема 2. Если и решения уравнения, то и их сумма также является решением этого уравнения. Следствие. Если и решения уравнения, то функция также решение этого уравнения.

Линейно зависимые и линейно независимые функции Две функции и называются линейно зависимыми на некотором промежутке, если можно подобрать такие числа и, не равные нулю одновременно, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на этом промежутке, т. е.

Если таких чисел подобрать нельзя, то функции и называются линейно независимыми на указанном промежутке. Функции будут линейно зависимыми тогда и только тогда, когда их отношение постоянно, т. е.

Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения 2 го порядка Если линейно независимые частные решения ЛОУ 2 го порядка, то их линейная комбинация где и произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

Линейное однородное уравнение 2 го порядка с постоянными коэффициентами Уравнение называется характеристическим уравнением линейного уравнения. Оно получается из ЛОУ заменой соотстветствующей порядку производной степенью k.

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Основные определение и понятия.

1. Образ функции двух переменных, область определения и изменения функции.

2. Частные производные, их геометрический смысл.

3. Производные высших порядков.

4. Дифференциал функции двух переменных, приближенные вычисления с помощью дифференциала .

5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Переменная zhttps://pandia.ru/text/80/329/images/image001_141.gif" width="13" height="13">G по закону (правилу) f : (x , y ) → z (z = f (x , y ) ) устанавливается взаимно-однозначное соответствие.

Множество G называется областью определения функции z = f (x , y ) и обозначается

Множество Z называется областью изменения функции z = f (x , y ) и обозначается Е(z ).

Функция двух переменных может обозначаться:

а) в явном виде z = f (x , y ); z = φ (x , y ); z = z (x , y );

b ) в неявном виде F (x , y , z (x , y ))=0.

Если (х0,у0) https://pandia.ru/text/80/329/images/image003_67.gif" width="76 height=24" height="24">; Е(z ) ≥ 0.

Графиком функции дух переменных является поверхность в пространстве .

https://pandia.ru/text/80/329/images/image006_41.gif" width="83" height="29">; изобразить на плоскости хоу

множество точек области определения этих функций.

1) Закон (правило) соответствия функции и пар независимых переменных z = f (x , y ) – логарифмический, поэтому (х – у)>0, то есть х > у. Область определения – множество точек плоскости хоу , лежащих под прямой у = х , не включая точек, принадлежащих прямой, поэтому ее изображают пунктиром.

Область изменения по закону функциональной зависимости z .

2) Закон (правило) соответствия z = f (x , y ) ,

поэтому (у – х2) ≥ 0, то есть у ≥ х2. Область определения –

множество точек плоскости хоу , лежащих внутри

параболы у ≥ х2 , включая точки, принадлежащих

параболе (границе области). Область изменения по

закону функциональной зависимости z ≥ 0.

Определение частных производных функции двух переменных и их геометрический смысл.

Частными производными функции z = f (x, у) называются пределы отношения приращений функции z = z (х, у) к приращению соответствующего аргумента по направлениям ох или оу при Δ х → 0 и Δ у → 0 соответственно:

Частная производная по х:

при вычислении считают x = const.

Геометрически

https://pandia.ru/text/80/329/images/image014_30.gif" width="108" height="24"> , где α – угол касательной к поверхности в точке с направлением оси ох;

Где β – угол касательной к поверхности в точке с направлением оси оу.

Правила дифференцирования и табличные производные функции одной переменной полностью справедливы для функции двух и нескольких переменных.

Для функции двух переменных z = f (x, y) существуют две

частные производные первого порядка : https://pandia.ru/text/80/329/images/image017_23.gif" width="89" height="44 src=">, которые так же являются функциями двух переменным и их можно дифференцировать по переменным х и у. Найдем четыре частные производные второго порядка :

Отметим, что смешанные производные высших порядков равны (теорема Шварца): , то есть различных производных

второго порядка – три: , .

Третьих производных для функции двух переменных (z = f (x, y)) – восемь: , но из них различных – четыре, так как смешанные производные при дифференцировании в любом порядке равны:

Найдем первые производные:

https://pandia.ru/text/80/329/images/image037_12.gif" width="139" height="27">Найдем вторые смешанные производные:

видим, что, то есть проверили теорему Шварца и показали, что.

Дифференциал и его геометрический смысл. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Полным дифференциалом функции z = f (x, у) называется линейная часть приращения функции (до касательной плоскости к поверхности в точке (х0;у0) ):

Данную формулу используют для приближенных вычислений функции в точке.

Например , нужно вычислить значение функции в, где

= 1.02 = 1 + 0.02 , а у0 = 2.97 = 3 - 0.03 : примем за х = 1 , а за у = 3 ;

за Δ х и Δ у следует выбрать Δ х =0.02 и Δ у = – 0.03 , чтобы погрешность вычисления была наименьшей (не следует в данном примере за Δ у выбирать значение Δ у = 0.97 , а за у = 2, представив точку у0 = 2.97 =2 + 0,97).

Пример 2. Вычислить значение https://pandia.ru/text/80/329/images/image049_4.gif" width="79" height="33"> и заметим, что вычислить ее необходимо в точке х0 = 0,98; у0 = 1,05.

Воспользуемся возможностью провести вычисления с помощью дифференциала. Представим точку х0 = 0,98 = 1 – 0,02; у0 = 1,05 = 1 + 0,05 и обозначим х = 1; у = 1; Δх = - 0,02; Δу = 0,05.

Вычислим частные производные функции = ; . Тогда .

При и вычислим

https://pandia.ru/text/80/329/images/image057_3.gif" width="376" height="41 src=">.

Вычислив это значение на калькуляторе, получим https://pandia.ru/text/80/329/images/image058_4.gif" width="192 height=48" height="48">0,0003.

Из определения дифференциала можно еще выделить его геометрический смысл.

Если А(х, у)https://pandia.ru/text/80/329/images/image001_141.gif" width="13" height="13">плоскости Z (x , y ) = z (A ) + a (x - xA ) + b (y - yA ), а поверхность графика функции сливается с плоскостью в окрестности точки А(х, у) , то такая плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в этой точке.
Или уравнение касательной плоскости а(х-хА)+ b (у-уА)+(-1)(z - zA )=0 и нормальный вектор к ней , который считают нормальным вектором к поверхности в точке А(х, у).