Рассмотрим определение моментов инерции плоской фигуры (рис) относительно осей ${Z_1}$ и ${Y_1}$ при известных моментах инерции относительно оси $X$ и $Y$.

${I_{{x_1}}} = \int\limits_A {y_1^2dA} = \int\limits_A {{{\left({y + a} \right)}^2}dA} = \int\limits_A {\left({{y^2} + 2ay + {a^2}} \right)dA} = \int\limits_A {{y^2}dA} + 2a\int\limits_A {ydA} + {a^2}\int\limits_A {dA} = $

$ = {I_x} + 2a{S_x} + {a^2}A$,

где ${S_x}$ - статический момент фигуры относительно оси $X$.

Аналогично относительно оси ${Y_1}$

${I_{{y_1}}} = {I_y} + 2a{S_y} + {b^2}A$.

Центробежный момент инерции относительно осей ${X_1}$ и ${Y_1}$

${I_{{x_1}{y_1}}} = \int\limits_A {{x_1}{y_1}dA} = \int\limits_A {\left({x + b} \right)\left({y + a} \right)dA} = \int\limits_A {\left({xy + xa + by + ba} \right)dA} = \int\limits_A {xydA} + a\int\limits_A {xdA} + b\int\limits_A {ydA} + ab\int\limits_A {dA} = {I_{xy}} + a{S_x} + b{S_y} + abA$

Чаще всего используется переход от центральных осей (собственных осей плоской фигуры) в произвольных, параллельных. Тогда ${S_x} = 0$, ${S_y} = 0$, так как оси $X$ и $Y$ являются центральными. Окончательно имеем

где , - собственные моменты инерции, т. е. моменты инерции относительно собственных центральных осей;

$a$, $b$ - расстояния от центральных осей до рассматриваемых;

$A$ - площадь фигуры.

Следует отметить, что при определении центробежного момента инерции в величинах $a$ и $b$ должен быть учтен знак, то есть они являются по сути, координатами центра тяжести фигуры в рассматриваемых осях. При определении осевых моментов инерции эти величины подставляют по модулю (как расстояния), поскольку они все равно возвышаются до квадрата.

С помощью формул параллельного переноса возможно осуществлять переход от центральных осей к произвольным, или же наоборот - от произвольных центральных осей. Первый переход осуществляется со знаком "+". Второй переход осуществляется со знаком " - ".

Примеры использования формул перехода между параллельными осями

Прямоугольное сечение

Определим центральные моменты инерции прямоугольника при известных моментах инерции относительно осей $Z$ и $Y$.

${I_x} = \frac{{b{h^3}}}{3}$; ${I_y} = \frac{{h{b^3}}}{3}$.

.

Аналогично ${I_y} = \frac{{h{b^3}}}{{12}}$.

Треугольное сечение

Определим центральные моменты инерции треугольника при известном моменте инерции относительно основы ${I_x} = \frac{{b{h^3}}}{{12}}$.

.

Относительно центральной оси ${Y_c}$ треугольник имеет другую конфигурацию, поэтому рассмотрим следующее. Момент инерции всей фигуры относительно оси ${Y_c}$ равен сумме момента инерции треугольника $ABD$ относительно оси ${Y_c}$ и момента инерции треугольника $CBD$ относительно оси ${Y_c}$, то есть

.

Определение момента инерции составного сечения

Составленным считаем сечение, состоит из отдельных элементов, геометрические характеристики которых известны. Площадь, статический момент и моменты инерции составной фигуры равны сумме соответствующих характеристик их составляющих. Если составлен сечение можно образовать путем вырезания одной фигуры из другой, геометрические характеристики вырезанной фигуры вычитаются. Например, моменты инерции составной фигуры, показанной на рис. будут определяться так

$I_z^{} = \frac{{120 \cdot {{22}^3}}}{{12}} - 2 \cdot \frac{{50 \cdot {{16}^3}}}{{12}} = 72\,300$см 4 .

$I_y^{} = \frac{{22 \cdot {{120}^3}}}{{12}} - 2 \cdot \left({\frac{{16 \cdot {{50}^3}}}{{12}} + 50 \cdot 16 \cdot {{29}^2}} \right) = 1\,490\,000$см 4

Если оси являются центральными, то оси моментов будут иметь вид:

15.Зависимость между моментами инерции при повороте осей :

J x 1 =J x cos 2 a + J y sin 2 a - J xy sin2a; J y 1 =J y cos 2 a + J x sin 2 a + J xy sin2a;

J x 1 y1 = (J x - J y)sin2a + J xy cos2a ;

Угол a>0, если переход от старой системы координат к новой происходит против час.стр. J y 1 + J x 1 = J y + J x

Экстремальные (максимальное и минимальное) значения моментов инерции называются главными моментами инерции . Оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются главными осями инерции . Главные оси инерции взаимно перпендикулярны. Центробежные моменты инерции относительно главных осей = 0, т.е. главные оси инерции - оси, относительно которых центробежный момент инерции = 0. Если одна из осей совпадает или обе совпадают с осью симметрии, то они главные. Угол, определяющий положение главных осей: , если a 0 >0 Þ оси поворачиваются против час.стр. Ось максимума всегда составляет меньший угол с той из осей, относительно которой момент инерции имеет большее значение. Главные оси, проходящие через центр тяжести, называются главными центральными осями инерции . Моменты инерции относительно этих осей:

J max + J min = J x + J y . Центробежный момент инерции относительно главных центральных осей инерции равен 0. Если известны главные моменты инерции, то формулы перехода к повернутым осям:

J x 1 =J max cos 2 a + J min sin 2 a; J y 1 =J max cos 2 a + J min sin 2 a; J x 1 y1 = (J max - J min)sin2a;

Конечной целью вычисления геометрических характеристик сечения является определение главных центральных моментов инерции и положения главных центральных осей инерции. Радиус инерции - ; J x =F×i x 2 , J y =F×i y 2 .

Если J x и J y главные моменты инерции, то i x и i y - главные радиусы инерции . Эллипс, построенный на главных радиусах инерции как на полуосях, называется эллипсом инерции . При помощи эллипса инерции можно графически найти радиус инерции i x 1 для любой оси х 1 . Для этого надо провести касательную к эллипсу, параллельную оси х 1 , и измерить расстояние от этой оси до касательной. Зная радиус инерции, можно найти момент инерции сечения относительно оси х 1: . Для сечений, имеющих более двух осей симметрии (например: круг, квадрат, кольцо и др.) осевые моменты инерции относительно всех центральных осей равны между собой, J xy =0, эллипс инерции обращается в круг инерции.

Изменение моментов инерции стержня при параллельном переносе осей.

В дополнении к статическим моментам рассмотрим ещё три следующих интеграла:

Где по прежнему через х и у обозначены текущие координаты элементарной площадки dF в произвольно взятой системе координат xOy. Первые 2 интеграла называются осевыми моментами инерции сечения относительно осей х и у соответственно. Третий интеграл называется центробежным моментом инерции сечения относительно х, у. Осевые моменты всегда положительны, т.к. положительной считается площадь dF. Центробежный момент инерции может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от расположения сечения относительно осей x, у.

Выведем формулы преобразования моментов инерции при параллельном переносе осей. (см рис). Будем считать, что нам заданы моменты инерции и статические моменты относительно осей х 1 и у 1 . Требуется определить моменты относительно осей х2 и у2.

Подставляя сюда x 2 =x 1 -a и y 2 =y 1 -b Находим

Раскрывая скобки, имеем.

Если оси х 1 и у 1 – центральные, то S x 1 = S y 1 =0 и полученные выражения упрощаются:

При параллельном переносе осей (если одна из осей – центральная) осевые моменты инерции изменяются на величину, равную произведению площади сечения на квадрат расстояния между осями.

Рисунок 7.

,

,

,

где I x , I y – осевые моменты инерции относительно исходных осей;

I xy – центробежный момент инерции относительно исходных осей;

I xc , I yc – осевые моменты инерции относительно центральных осей;

I xcyc – центробежный момент инерции относительно центральных осей;

a, b – расстояние между осями.

Определение моментов инерции сечения при повороте осей

Известны все геометрические характеристики сечения относительно центральных осей х С , у С (рис. 8). Определим моменты инерции относительно осей х 1 , у 1 , повернутых относительно центральных на некоторый угол a .

Рисунок 8

,

где I x 1 , I y 1 – осевые моменты инерции относительно осей х 1 , у 1 ;

I x 1 y 1 – центробежный момент инерции относительно осейх 1 , у 1 .

Определение положения главных центральных осей инерции

Положение главных центральных осей инерции сечения определяется по формуле:

,

где a 0 – угол между центральными и главными осями инерции.

Определение главных моментов инерции

Главные моменты инерции сечения определяются по формуле:

Последовательность расчета сложного сечения

1) Разбить сложное сечение на простейшие геометрические фигуры [S 1 , S 2 ,…;x 1 , y 1 ; x 2 , y 2 , …]

2) Выбрать произвольные оси XOY .

3) Определить положение центра тяжести сечения [x c , y c ].

4) Провести центральные оси X c OY c .

5) Вычислить моменты инерции Ix c , Iy c , используя теорему параллельного переноса осей.

6) Вычислить центробежный момент инерции Ix c y c .

7) Определить положение главных осей инерции tg2a 0 .

8) Вычислить главные моменты инерции I max , I min .

ПРИМЕР 2

Для фигуры, показанной на рисунке 13 определить главные моменты

инерции и положение главных осей инерции.

1) Разбиваем сложное сечение на простейшие геометрические фигуры

S 1 = 2000 мм 2 , S 2 = 1200 мм 2 , S = 3200 мм 2 .

2) Выбираем произвольные оси XOY.

3) Определяем положение центра тяжести сечения

x c = 25 мм, y c =35 мм .

4) Проводим центральные оси X c OY c

5) Вычисляем моменты инерции Ix c , Iy c

6) Вычисляем центробежный момент инерции Ix c y c

7) Определяем положение главных осей инерции

Если I x >I y и a 0 >0 , то угол a 0 откладывается от оси Х с против часовой стрелки.

8) Вычисляем главные моменты инерции I max , I min

ПРИМЕР 3

Для фигуры, показанной на рис. 8 определить положение главных осей

Рисунок 8.

инерции и главные моменты инерции.

1) Выписываем основные исходные данные для каждой фигуры

Швеллер

S 1 = 10,9 см 2

I x = 20,4 см 4

I y = 174 см 4

y 0 = 1,44 см

h = 10 см

Неравнополочный уголок

S 3 = 6,36 см 2

I x = 41,6 см 4

I y = 12,7 см 4

I min = 7,58 см 4

tga = 0,387

x 0 = 1,13 см

y 0 = 2,6 см

Прямоугольник

S 2 = 40 см 2

см 4

см 4

2) Вычерчиваем сечение в масштабе

3) Проводим произвольные оси координат

4) Определяем координаты центра тяжести сечения

5) Проводим центральные оси

6) Определяем осевые моменты инерции относительно центральных осей

7) Определяем центробежный момент инерции относительно центральных осей

Центробежный момент инерции для угловой прокатной стали относительно ее центра тяжести определяется по одной из следующих формул:

-4

Знак центробежного момента инерции для угловой прокатной стали определяется согласно рис. 9, поэтому I xy 3 = -13,17 см 4 .

8) Определяем положение главных осей инерции

a 0 = 21,84°

9) Определяем главные моменты инерции

ЗАДАЧА 4

Для заданных схем (табл. 6) необходимо:

1) Вычертить поперечное сечение в строгом масштабе.

2) Определить положение центра тяжести.

3) Найти величины осевых моментов инерции относительно центральных осей.

4) Найти величину центробежного момента инерции относительно центральных осей.

5) Определить положение главных осей инерции.

6) Найти главные моменты инерции.

Числовые данные взять из табл. 6.

Расчетные схемы к задаче № 4

Таблица 6

Исходные данные к задаче № 4

№	Уголок равнополочный	Уголок неравнополочный	Двутавр	Швеллер	Прямо-угольник	№ схемы
	30´5	50´32´4			100´30
	40´6	56´36´4			100´40
	50´4	63´40´8			100´20
	56´4	70´45´5			80´40
	63´6	80´50´6		14а	80´60
	70´8	90´56´6			80´100
	80´8	100´63´6	20а	16а	80´20
	90´9	90´56´8			60´40
	75´9	140´90´10	22а	18а	60´60
	100´10	160´100´12			60´40
	д	а	б	в	г	д

Указания к задаче 5

Изгибом называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает В.С.Ф. – изгибающий момент.

Для того, чтобы произвести расчет балки на изгиб, необходимо знать величину наибольшего изгибающего момента М и положение сечения, в котором он возникает. Точно также, надо знать и наибольшую поперечную силу Q . Для этой цели строят эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. По эпюрам легко судить о том, где будет максимальное значение момента или поперечной силы. Для определения величин М и Q используют метод сечений. Рассмотрим схему, показанную на рис. 9. Составим сумму сил на ось Y , действующих на отрезанную часть балки.

Рисунок 9.

Поперечная сила равна алгебраической сумме всех сил, действующих по одну сторону от сечения.

Составим сумму моментов, действующих на отрезанную часть балки, относительно сечения.

Изгибающий момент равен алгебраической сумме всех моментов, действующих на отсеченную часть бруса, относительно центра тяжести сечения.

Для того чтобы можно было вести расчет с любого конца балки, необходимо принять правило знаков для внутренних силовых факторов.

Для поперечной силы Q .

Рисунок 10.

Если внешняя сила вращает отрезанную часть балки по часовой стрелке, то сила является положительной, если внешняя сила вращает отрезанную часть балки против хода часовой стрелки, то сила является отрицательной.

Для изгибающего момент момента М .

Рисунок 11.

Если под действием внешней силы изогнутая ось балки принимает вид вогнутой чаши, такой, что идущий сверху дождь будет наполнять ее водой, то изгибающий момент является положительным (рис. 11а). Если под действием внешней силы изогнутая ось балки принимает вид выпуклой чаши, такой, что идущий сверху дождь не будет наполнять ее водой, то изгибающий момент является отрицательным (рис. 11б).

Между интенсивностью распределенной нагрузки q , поперечной силой Q и изгибающим моментом М , действующим в некотором сечении, существуют следующие дифференциальные зависимости:

Указанные дифференциальные зависимости при изгибе позволяют установить некоторые особенности эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

1) На тех участках, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q ограничена прямыми, параллельными оси эпюры, а эпюра М , в общем случае, – наклонными прямыми (рис. 19).

2) На тех участках, где к балке приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра Q ограничена наклонными прямыми, а эпюра М – квадратичными параболами (рис. 20). При построении эпюры М на сжатых волокнах, выпуклость параболы обращена в сторону, противоположную действию распределенной нагрузки (рис. 21а, б).

Рисунок 12.

Рисунок 13.

3) В тех сечениях, где Q = 0, касательная к эпюре М параллельна оси эпюры (рис. 12, 13). Изгибающий момент в таких сечениях балки экстремален по величине (М max , M min ).

4) На участках, где Q > 0, M возрастает, то есть слева на право положительные ординаты эпюры M увеличиваются, отрицательные – уменьшаются (рис. 12, 13); на тех участках, где Q < 0, M убывает (рис. 12, 13).

5) В тех сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы:

а) на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении приложенных сил (рис. 12, 13).

б) на эпюре M будут переломы (рис. 12, 13), острие перелома направлено против действия силы.

6) В тех, сечениях, где к балке приложены сосредоточенные моменты, на эпюре M будут скачки на величину этих моментов, на эпюре Q никаких изменений не будет (рис.14).

Рисунок 14.

Рисунок15.

7) Если на конце консоли или в концевой опоре приложен сосредоточенный

момент, то в этом сечении изгибающий момент равен внешнему моменту (сечения C и B на рис. 15).

8) Эпюра Q представляет собой диаграмму производной от эпюры M . Значит, ординаты Q пропорциональны тангенсу угла наклона касательной к эпюре M (рис. 14).

Порядок построения эпюр Q и М :

1) Составляется расчетная схема балки (в виде оси) с изображением действующих на нее нагрузок.

2) Влияние опор на балку заменяется соответствующими реакциями; указываются обозначения реакций и их принятые направления.

3) Составляются уравнения равновесия балки, решением которых определяются значения опорных реакций.

4) Балка разбивается на участки, границами которых являются точки приложения внешних сосредоточенных сил и моментов, а также точки начала и окончания действия или изменения характера распределенных нагрузок.

5) Составляются выражения изгибающих моментов М и поперечных сил Q для каждого участка балки. На расчетной схеме указываются начало и направление отсчета расстояний для каждого участка.

6) По полученным выражениям вычисляются ординаты эпюр для ряда сечений балки в количестве, достаточном для изображения этих эпюр.

7) Определяются сечения, в которых поперечные силы равны нулю и в которых, следовательно, действуют моменты M max или M min для данного участка балки; вычисляются значения этих моментов.

8) По полученным значениям ординат строятся эпюры.

9) Производится проверка построенных эпюр путем сопоставления их друг с другом.

Эпюры внутренних силовых факторов при изгибе строят для того, чтобы определить опасное сечение. После того, как опасное сечение будет найдено, балку рассчитывают на прочность. В общем случае поперечного изгиба, когда в сечениях стержня действуют изгибающий момент и поперечная сила, в сечении балки возникают нормальные и касательные напряжения. Поэтому, логично рассматривать два условия прочности:

а) по нормальным напряжениям

б) по касательным напряжениям

Поскольку основным разрушающим фактором для балок являются нормальные напряжения, то и размеры поперечного сечения балки принятой формы определяют из условия прочности по нормальным напряжениям:

Затем проверяют, удовлетворяет ли выбранное сечение балки условию прочности по касательным напряжениям.

Однако, такой подход к расчету балок еще не характеризует прочность балки. Во многих случаях в сечениях балок имеются точки, в которых одновременно действуют большие нормальные и касательные напряжения. В таких случаях возникает необходимость проверки балки на прочность по главным напряжениям. Наиболее применимы для такой проверки третья и четвертая теории прочности:

, .

ПРИМЕР 1

Построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента М для балки, показанной на рис. 16, если: F 1 = 3 кН,F 2 = 1,5 кН, М = 5,1 кН∙м, q = =2кН/м, а = 2м, b = 1 м, с = 3м.

Рисунок 16.

1) Определяем опорные реакции.

;

;

Проверка:

Реакции найдены верно

2) Разбиваем балку на участки CA , AD , DE , EK , KB .

3) Определяем значения Q и М на каждом участке.

СА

, ; , .

АD

, ;

, .

DE

, ;

, .

КВ

, , .

Найдем максимум изгибающего момента на участке KB .

Приравняем уравнение Q на этом участке к нулю и выразим координатуz max , при которой Q = 0, а момент имеет максимальное значение. Далее подставим z max в уравнение момента на этом участке и найдем M max .

EК

, .

4) Строим эпюры (рис. 16)

ПРИМЕР 2

Для балки, изображенной на рис. 16 определить размеры круглого, прямоугольного (h/b = 2) и двутаврового сечения. Проверить прочность двутавра по главным напряжениям, если [s] = 150 МПа, [t] = 150 МПа.

1) Определяем из условия прочности необходимый момент сопротивления

2) Определяем размеры круглого сечения

3) Определяем размеры прямоугольного сечения

4) Подбираем по сортаменту двутавровую балку № 10 (ГОСТ 8239-89)

W X = 39,7 см 3 , S X * =23 см 3 , I X = 198 см 4 , h = 100 мм, b = 55 мм, d = 4,5 мм, t = 7,2 мм.

Для проверки прочности балки по главным напряжениям, необходимо построить эпюры нормальных и касательных напряжений в опасном сечении. Так как величина главных напряжений зависит и от нормальных и от касательных напряжений, то проверку прочности следует произвести в том сечении балки, где М и Q достаточно велики. На опоре В (рис. 16) поперечная сила Q имеет максимальное значение, однако здесь М = 0. поэтому считаем опасным сечение на опоре А , где изгибающий момент максимален и поперечная сила имеет сравнительно большое значение.

Нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, подчиняются линейному закону:

где y – координата точки сечения (рис. 24).

при у = 0, s = 0;

при y max ,

Закон изменения касательных напряжений определяются законом изменением статического момента площади, который, в свою очередь изменяется по высоте сечения по параболическому закону. Вычислив значение для характерных точек сечения, построим эпюру касательных напряжений. При вычислении значений t воспользуемся обозначениями размеров сечения, принятыми на рис. 17.

Условие прочности для слоя 3–3 выполняется.

ЗАДАЧА 5

Для заданных схем балок (табл. 12) построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента М . Подобрать поперечное сечение для схемы а) круглое [s] = 10 МПа; б) двутавровое [s] = 150 МПа.

Числовые данные взять из табл. 7.

Таблица 7

Исходные данные к задаче № 6

№

а, м

q 1 =q 3 , кН/м

q 2 , кН/м

F 1 , кН

F 2 , кН

F 3 , кН

М 1 , кН∙м

М 2 , кН∙м

М 3 , кН∙м

№ схемы

0,8

1,2

Продолжение таблицы 12

Пусть z с , у с – центральные оси сечений, – моменты инерции сечения относительно этих осей. Определим моменты инерции сечения относительно новых осей z 1 , у 1 , параллельных центральным осям и смещенных относительно них на расстояния a и d . Пусть dA – элементарная площадка в окрестности точки М с координатами y и z в центральной системе координат. Из рис. 4.3 видно, что координаты точки С в новой системе координат будут равны, .

Определим момент инерции сечения относительно оси у 1 :

Рис.4.3

z c

y c

z 1

y 1

d

a

C

Очевидно, что первый интеграл дает, второй – , так как исходная система координат – центральная, а третий – площадь сечения А .

Таким образом,

Аналогично

Изменение моментов инерции сечения при повороте осей

Найдем зависимость между моментами инерции относительно осей y , z и моментами инерции относительно осей y 1 , z 1 , повернутых на угол a . Пусть J y > J z и положительный угол a отсчитывается от оси y против часовой стрелки. Пусть координаты точки М до поворота – y , z , после поворота – y 1 , z 1 (рис. 4.4).

Из рисунка следует:

Теперь определим моменты инерции относительно осей y 1 и z 1 :

Рис. 4.4

M

z

z 1

y 1

y

a

y

y 1

z 1

z

. (4.13)

Аналогично:

Сложив почленно уравнения (4.13) и (4.14), получим:

т.е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей остается постоянной и не изменяется при повороте системы координат.

Главные оси инерции и главные моменты инерции

С изменением угла поворота осей a каждая из величин и меняется, а сумма их остается неизменной. Следовательно, существует такое значение

a = a 0 , при котором моменты инерции достигают экстремальных значений, т.е. один из них достигает своего максимального значения, а другой – минимального. Для нахождения значения a 0 возьмем первую производную от (или) и приравняем ее нулю:

Покажем, что относительно полученных осей центробежный момент инерции равен нулю. Для этого приравняем правую часть уравнения (4.15) нулю: , откуда, т.е. получили ту же формулу для a 0 .

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями. Если эти оси являются также и центральными, то они называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.

Обозначим главные оси через y 0 и z 0 . Тогда

Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда является одной из главных центральных осей инерции сечения.