Мы отметили, что любой одночлен можно привести к стандартному виду . В этой статье мы разберемся, что называют приведением одночлена к стандартному виду, какие действия позволяют осуществить этот процесс, и рассмотрим решения примеров с подробными пояснениями.

Навигация по странице.

Что значит привести одночлен к стандартному виду?

С одночленами удобно работать, когда они записаны в стандартном виде . Однако достаточно часто одночлены задаются в виде, отличном от стандартного. В этих случаях всегда можно перейти от исходного одночлена к одночлену стандартного вида, выполнив тождественные преобразования . Процесс проведения таких преобразований называют приведением одночлена к стандартному виду.

Обобщим приведенные рассуждения. Привести одночлен к стандартному виду – это значит выполнить с ним такие тождественные преобразования, чтобы он принял стандартный вид.

Как привести одночлен к стандартному виду?

Пришло время разобраться с тем, как приводить одночлены к стандартному виду.

Как известно из определения, одночлены нестандартного вида представляют собой произведения чисел, переменных и их степеней, причем, возможно, повторяющихся. А одночлен стандартного вида может содержать в своей записи только одно число и неповторяющиеся переменные или их степени. Теперь осталось понять, как произведения первого вида привести к виду вторых?

Для этого нужно воспользоваться следующим правилом приведения одночлена к стандартному виду , состоящим из двух шагов:

• Во-первых, выполняется группировка числовых множителей, а также одинаковых переменных и их степеней;
• Во-вторых, вычисляется произведение чисел и применяется .

В результате применения озвученного правила любой одночлен будет приведен к стандартному виду.

Примеры, решения

Осталось научиться применять правило из предыдущего пункта при решении примеров.

Пример.

Приведите одночлен 3·x·2·x 2 к стандартному виду.

Решение.

Сгруппируем числовые множители и множители с переменной x . После группировки исходный одночлен примет вид (3·2)·(x·x 2) . Произведение чисел в первых скобках равно 6 , а правило умножения степеней с одинаковыми основаниями позволяет выражение во вторых скобках представить как x 1 +2=x 3 . В итоге получаем многочлен стандартного вида 6·x 3 .

Приведем краткую запись решения: 3·x·2·x 2 =(3·2)·(x·x 2)=6·x 3 .

Ответ:

3·x·2·x 2 =6·x 3 .

Итак, для приведения одночлена к стандартному виду необходимо уметь проводить группировку множителей, выполнять умножение чисел, и работать со степенями.

Для закрепления материала решим еще один пример.

Пример.

Представьте одночлен в стандартном виде и укажите его коэффициент.

Решение.

Исходный одночлен имеет в своей записи единственный числовой множитель −1 , перенесем его в начало. После этого отдельно сгруппируем множители с переменной a , отдельно – с переменно b , а переменную m группировать не с чем, оставим ее как есть, имеем . После выполнения действий со степенями в скобках одночлен примет нужный нам стандартный вид , откуда виден коэффициент одночлена , равный −1 . Минус единицу можно заменить знаком минус: .

Одночлен - это выражение, представляющее собой произведение двух или более сомножителей, каждый из которых является числом, выраженным буквой, цифрами или степенью (с целым неотрицательным показателем):

2a , a 3 x , 4abc , -7x

Так как произведение одинаковых сомножителей можно записать в виде степени, то отдельно взятая степень (с целым неотрицательным показателем) также является одночленом:

(-4) 3 , x 5 ,

Так как число (целое или дробное), выраженное буквой или цифрами, можно записать в виде произведения этого числа на единицу, то любое отдельно взятое число тоже можно рассматривать как одночлен:

x , 16, -a ,

Стандартный вид одночлена

Стандартный вид одночлена - это одночлен, у которого только один числовой множитель, который обязательно должен быть записан на первом месте. Все переменные стоят в алфавитном порядке и содержаться в одночлене только один раз.

Числа, переменные и степени переменных также относятся к одночленам стандартного вида:

7, b , x 3 , -5b 3 z 2 - одночлены стандартного вида.

Числовой множитель одночлена стандартного вида называется коэффициентом одночлена . Коэффициенты одночлена равные 1 и -1 обычно не пишут.

Если в одночлене стандартного вида нет числового множителя, то подразумевается, что коэффициент одночлена равен 1:

x 3 = 1 · x 3

Если в одночлене стандартного вида нет числового множителя и перед ним стоит знак минус, то подразумевается, что коэффициент одночлена равен -1:

-x 3 = -1 · x 3

Приведение одночлена к стандартному виду

Чтобы привести одночлен к стандартному виду надо:

1. Перемножить числовые множители, если их несколько. Возвести числовой множитель в степень, если у него есть показатель. Поставить числовой множитель на первое место.
2. Перемножить все одинаковые переменные, чтобы каждая переменная встречалась в одночлене только один раз.
3. Расположить переменные после числового множителя в алфавитном порядке.

Пример. Представьте одночлен в стандартном виде:

а) 3yx 2 · (-2)y 5 x ; б) 6bc · 0,5ab 3

Решение:

а) 3yx 2 · (-2)y 5 x = 3 · (-2)x 2 x y y 5 = -6x 3 y 6
б) 6bc · 0,5ab 3 = 6 · 0,5ab b 3 c = 3ab 4 c

Степень одночлена

Степень одночлена - это сумма показателей степеней всех входящих в него букв.

Если одночлен является числом, то есть не содержит переменных, то его степень считается равной нулю. Например:

5, -7, 21 - одночлены нулевой степени.

Следовательно, чтобы найти степень одночлена, нужно определить показатель степени каждой из входящих в него букв и сложить эти показатели. Если показатель буквы не указан, значит он равен единице.

Примеры:

Так как у x показатель степени не указан, значит он равен 1. Других переменных одночлен не содержит, значит его степень равна 1.

Одночлен содержит всего одну переменную во второй степени, значит степень данного одночлена равна 2.

3) ab 3 c 2 d

Показатель a равен 1, показатель b - 3, показатель c - 2, показатель d - 1. Степень данного одночлена равна сумме этих показателей.

I. Выражения, которые составлены из чисел, переменных и их степеней, при помощи действия умножения называются одночленами.

Примеры одночленов:

а) a; б) ab; в) 12; г) -3c; д) 2a 2 ∙(-3,5b) 3 ; е) -123,45xy 5 z; ж) 8ac∙2,5a 2 ∙(-3c 3).

II. Такой вид одночлена, когда на первом месте стоит числовой множитель (коэффициент), а за ним переменные с их степенями, называют стандартным видом одночлена.

Так, одночлены, приведенные выше, под буквами а), б), в), г) и е) записаны в стандартном виде, а одночлены под буквами д) и ж) требуется привести к стандартному виду, т. е. к такому виду, когда на первом месте стоит числовой множитель, а за ним записывают буквенные множители с их показателями, причем, буквенные множители стоят в алфавитном порядке. Приведем одночлены д) и ж) к стандартному виду.

д) 2a 2 ∙(-3,5b) 3 =2a 2 ∙(-3,5) 3 ∙b 3 =-2a 2 ∙3,5∙3,5∙3,5∙b 3 =-85,75a 2 b 3 ;

ж) 8ac∙2,5a 2 ∙(-3c 3) =-8∙2,5∙3a 3 c 3 =-60a 3 c 3 .

III. Сумму показателей степеней всех переменных, входящих в состав одночлена, называют степенью одночлена.

Примеры. Какую степень имеют одночлены а) — ж)?

а) a. Первую;

б) ab. Вторую: а в первой степени и b в первой степени-сумма показателей 1+1=2 ;

в) 12. Нулевую, так как буквенных множителей нет;

г) -3c. Первую;

д) -85,75a 2 b 3 . Пятую. Мы привели этот одночлен к стандартному виду, имеем а во второй степени и b в третьей. Складываем показатели: 2+3=5 ;

е) -123,45xy 5 z. Седьмую. Сложили показатели степеней буквенных множителей: 1+5+1=7 ;

ж) -60a 3 c 3 . Шестую, так как сумма показателей буквенных множителей 3+3=6 .

IV. Одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными одночленами.

Пример. Указать подобные одночлены среди данных одночленов 1) -7).

1) 3aabbc; 2) -4,1a 3 bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 2 bac; 5) 10aaa 2 x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34x 2 y.

Приведем одночлены 1), 4) и 5) к стандартному виду. Тогда строчка данных одночленов будет выглядеть так:

1) 3a 2 b 2 c; 2) -4,1a 3 bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 3 bc; 5) 10a 4 x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34x 2 y.

Подобными будут те, которые имеют одинаковую буквенную часть, т.е. 1) и 3) ; 2) и 4) ; 5) и 6).

1) 3a 2 b 2 c и 3) 56a 2 b 2 c;

2) -4,1a 3 bc и 4) 98,7a 3 bc;

5) 10a 4 x и 6) -2,3a 4 x.